Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.

Звёздчатый октаэдр 

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название stella octangula Кеплера. По сути она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы додекаэдра

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр(звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.

Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.


Звёздчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.

 

Большой додекаэдр

Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.

Большой икосаэдр

Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.

 

Звездчатые кубооктаэдры

Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.

 

 

Звездчатые икосаэдры

На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.

Звездчатые икосододекаэдры

На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.

 

А вот ещё группа красавцев…

.

 

Упражнение 1

На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella octangula" - звезда восьмиугольная.

Объединением каких двух многогранников он является? Что является их пересечением?

 

 

Ответ: Тетраэдров; октаэдр.

Упражнение 2

Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром a получился малый звездчатый додекаэдр?

 

Упражнение 3

Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр?

 

 

 

 Упражнение 4

Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням икосаэдра с ребром a получился большой звездчатый додекаэдр?

 

Упражнение 5

Вершинами какого многогранника являются вершины большого звездчатого додекаэдра?

Ответ: Додекаэдра.

Упражнение 6

Как из большого додекаэдра можно получить многогранник, изображенный на рисунке?

 

Ответ: Операцией усечения.

Трехмерные модели однородных многогранников и их звездчатых форм

Здесь можно увидеть трехмерные модели всех известных однородных многогранников: выпуклых Платоновых и Архимедовых тел, тел Кеплера - Пуансо и полуправильных звездчатых многогранников. В таблице представлен полный список многогранников и их некоторые характеристики. Для каждой трехмерной модели предусмотрено несколько вариантов раскраски, имеется также возможность просмотра строения граней и вершин. В специальном разделе галереи можно бегло ознакомиться с обзорными изображениями моделей.

Для каждого однородного многогранника можно породить как в трехмерном калейдоскопе огромное множество звездчатых форм, внешне чрезвычайно привлекательных. Достаточно рассмотреть изображения звезд в галерее, а также примеры звездоформ икосаэдра и кубоктаэдра. Для более сложных многогранников звездчатые формы практически не известны; этот сайт практически впервые дает возможность их увидеть и изучить. Для вас доступны два пути поиска новых многогранников: выбор какой-либо уже представленной на сайте звездчатой формы (а всего их тут более миллиона), либо целенаправленная сборка нового многогранника из отсеков в режиме ручного редактирования звездчатых форм.

Привлекательный внешний вид и огромное разнообразие форм однородных многогранников и их звездчатых форм делают перспективным применение оных как декоративных элементов.
Вы можете сохранить на локальный диск любой многогранник для использования в собственных проектах, компьютерном дизайне и графике. Возможен экспорт трехмерных моделей в форматах 3DMAX (*.3ds), VRML (*.vrml), DirectX (*.x) и соответствующих анимированных изображений (*.gif, *.avi, *.swf).
Вы можете создавать оригинальные электронные поздравительные открытки с изображениями многогранников. Достаточно выбрать самый красивый многогранник и подписать текст. Вашей открытке будет присвоен уникальный URL (интернет-ссылка), которую вы можете передать заинтересованным лицам. Новинка сезона - создание надписей прямо на гранях многогранника!

Многие великие и умные люди проявляли интерес к многогранникам. Во времена Пифагора учение о многогранниках было сакральным, тайной, доступной только избранным. В философской системе Платона важная роль отводилась правильным многогранникам. Архимед перечислил все полуправильные выпуклые многогранники. Кеплер придумал два звёздчатых правильных многогранника, затем Пуансо нашел ещё два, а Коши доказал: других правильных нет. Коксетер и другие только в середине 20 века перечислили остальные полуправильные невыпуклые многогранники. Ещё позднее удалось доказать, что список однородных многогранников полон.
Что касается звездчатых форм сложных многогранников, то они практически никому не известны. Возможно именно Вам посчастливится найти интересно устроенный или особенно красивый многогранник! Тогда в галерее среди достойнейших мужей вы сможете занять свое почетное место.

Таблица - Список всех однородных многогранников

(Список типов граней).

 

Название

Строение вершины

В, Р, Г

Группа

Типы граней

Отсеков (ЗС)

Звезд

Цветов

Всех В, Р, Г

Правильные выпуклые многогранники (Платоновы тела)

1

тетраэдр

3,3,3

4,6,4

12

3

1

1

4

 

2

октаэдр

3,3,3,3

6,12,8

24

3

2

2

2

 

3

куб

4,4,4

8,12,6

24

4

1

1

3

 

4

икосаэдр

3,3,3,3,3

12,30,20

60

3

12 (10)

43

5

 

5

додекаэдр

5,5,5

20,30,12

60

5

4

4

6

 

Полуправильные выпуклые многогранники (Архимедовы тела)

6

усеченный тетраэдр

6,6,3

12,18,8

12

3,3

4

7

5

 

7

усеченный октаэдр

6,6,4

24,36,14

24

4,3

9

35

3

 

8

усеченный куб

8,8,3

24,36,14

24

4,3

9

35

4

 

9

усеченный икосаэдр

6,6,5

60,90,32

60

5,3

55 (35)

5177

6

 

10

усеченный додекаэдр

10,10,3

60,90,32

60

5,3

55 (35)

5343

7

 

11

кубооктаэдр

4,3,4,3

12,24,14

24

4,3

8

22

2

 

12

икосододекаэдр

5,3,5,3

30,60,32

60

5,3

50 (32)

62784

2

 

13

ромбокубоктаэдр

4,4,4,3

24,48,26

24

4,3,2

65 (31)

15000

3

 

13'

псевдоромбокубоктаэдр

4,4,4,3

24,48,26

8

4,1,1,1

220 (44)

15000

5

 

14

ромбоикосододекаэдр

4,5,4,3

60,120,62

60

5,3,2

422 (124)

15000

3

 

15

ромбоусеченный кубооктаэдр

8,6,4

48,72,26

24

4,3,2

66 (32)

15000

3

 

16

ромбоусеченный икосододекаэдр

10,6,4

120,180,62

60

5,3,2

458 (130)

15000

3

 

17

курносый куб

3,3,3,3,4

24,60,38

24-

4,3,1

274

15000

4

 

18

курносый додекаэдр

3,3,3,3,5

60,150,92

60-

5,3,1

1940

1940

7

 

Правильные звездчатые многогранники (тела Кепплера — Пуансо)

19

малый звездчатый додекаэдр

5/2,5/2,5/2,5/2,5/2

12,30,12

60

5

4

4

6

32,90,60

20

большой додекаэдр

5,5,5,5,5

12,30,12

60

5

4

4

6

32,90,60

21

большой звездчатый додекаэдр

5/2,5/2,5/2

20,30,12

60

5

4

4

6

32,90,60

22

большой икосаэдр

3,3,3,3,3

12,30,20

60

3

12 (10)

38

5*

92,270,180

Однородные многогранники

23

тетрагемигексаэдр

3,4,3,4

6,12,7

12

3,2+

2

2

4

7,18,16

24

октагемиоктаэдр

3,6,3,6

12,24,12

24

3,3+

4

6

4

13,36,32

25

малый кубокубоктаэдр

4,8,3,8

24,48,20

24

4,4,3

24 (18)

2288

4

32,84,62

26

малый битригональный икосододекаэдр

3,5/2,3,5/2,3,5/2

20,60,32

60

5,3

49 (31)

3239

6

80,150,72

27

малый икосоикосододекаэдр

6,3,6,5/2

60,120,52

60

5,3,3

237 (93)

15000

7

120,210,92

28

малый додекоикосододекаэдр

5,10,3,10

60,120,44

60

5,5,3

134 (68)

15000

7

80,210,152

29

додекододекаэдр

5,5/2,5,5/2

30,60,24

60

5,5

20 (18)

177

6

110,180,72

30

малый ромбододекаэдр

4,10,4,10

60,120,42

60

5,2

120 (52)

15000

7

80,210,162

31

усеченный большой додекаэдр

10,10,5/2

60,90,24

60

5,5

21 (19)

194

6

140,210,72

32

ромбододекододекаэдр

4,5,4,5/2

60,120,54

60

5,5,2

278 (96)

15000

6

260,570,312

33

большой кубокубооктаэдр

8/3,4,8/3,3

24,48,20

24

4,4,3

24 (18)

1368

7

96,156,62

34

кубогемиоктаэдр

4,6,4,6

12,24,10

24

4,3+

3

4

5

13,36,30

35

кубоусеченный кубооктаэдр

8,6,8/3

48,72,20

24

4,4,3

25 (19)

2301

7

120,180,62

36

битригональный додекаэдр

5,5/2,5,5/2,5,5/2

20,60,24

60

5,5

18 (16)

218

6

92,270,192

37

большой битригональный додекоикосододекаэдр

10/3,5,10/3,3

60,120,44

60

5,5,3

140 (70)

15000

6

240,390,152

38

малый битригональный додекоикосододекаэдр

3,10,5/2,10

60,120,44

60

5,5,3

140 (70)

15000

7

132,330,212

39

икосододекододекаэдр

5,6,5/2,6

60,120,44

60

5,5,3

137 (69)

15000

8

272,690,432

40

икосододекоусеченный икосододекаэдр

10,6,10/3

120,180,44

60

5,5,3

141 (71)

15000

7

300,450,152

41

квазиромбокубоктаэдр

4,4,3,4

24,48,26

24

4,3,2

65 (31)

15000

11

354,852,488

41'

псевдоквазиромбокубоктаэдр

4,4,3,4

24,48,26

8

4,1,1,1

220 (44)

15000

11

362,792,424

42

малый ромбогексаэдр

4,8,4,8

24,48,18

24

4,2

18 (12)

656

4

32,84,66

43

большой битригональный икосододекаэдр

5,3,5,3,5,3

20,60,32

60

5,3

49 (31)

11740

6

152,450,300

44

большой икосоикосододекаэдр

5,6,3,6

60,120,52

60

5,3,3

237 (93)

15000

6*

930,2190,1232

45

малый икосогемидодекаэдр

3,10,3,10

30,60,26

60

3,5+

24 (18)

1394

7

31,90,80

46

малый додекоикосаэдр

10,6,10,6

60,120,32

60

5,3

55 (35)

15000

9

192,570,380

47

малый додекогемидодекаэдр

5,10,5,10

30,60,18

60

5,5+

8

17

6

31,90,72

48

квазиусеченный гексаэдр

8/3,8/3,3

24,36,14

24

4,3

9

42

7

80,132,54

49

квазиусеченный кубооктаэдр

6,4,8/3

48,72,26

24

4,3,2

66 (32)

15000

7

150,300,146

50

большой икосододекаэдр

3,5/2,3,5/2

30,60,32

60

5,3

50 (32)

15000

7

170,300,132

51

усеченный большой икосаэдр

6,6,5/2

60,90,32

60

5,3

55 (35)

15000

6*

200,390,192

52

ромбоикосаэдр

4,6,4,6

60,120,50

60

3,2

231 (75)

15000

8

392,1020,630

53

квазиусеченный звездчатый додекаэдр

10/3,10/3,5

60,90,24

60

5,5

21 (19)

730

6

200,330,132

54

квазиусеченный додекаэдр

10/3,10,4

120,180,54

60

5,5,2

281 (95)

15000

8

392,810,402

55

большой додекоикосододекаэдр

10/3,3,10/3,5/2

60,120,44

60

5,5,3

134 (68)

15000

6

212,390,180

56

малый додекогемиикосаэдр

6,5/2,6,5/2

30,60,22

60

5,3+

15 (13)

136

10

91,210,132

57

большой додекоикосаэдр

10/3,6,10/3,6

60,120,32

60

5,3

55 (35)

11326

10

290,600,312

58

большой додекогемиикосаэдр

5,6,5,6

30,60,22

60

5,3+

15 (13)

110

14

200,510,312

59

большой ромбогексаэдр

8/3,4,8/3,4

24,48,18

24

4,2

18 (12)

2075

7

116,240,126

60

квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр

10/3,10/3,3

60,90,32

60

5,3

55 (35)

5409

6

152,270,120

61

квазиромбоикосододекаэдр

3,4,5/2,4

60,120,62

60

5,3,2

422 (124)

15000

≤10

732,1710,980

62

большой икосогемидодекаэдр

3,10/3,3,10/3

30,60,26

60

3,5+

24 (18)

458

7

152,330,180

63

большой додекогемидодекаэдр

5/2,10/3,5/2,10/3

30,60,18

60

5,5+

8

17

6

140,270,132

64

большой квазиусеченный икосододекаэдр

10/3,6,4

120,180,62

60

5,3,2

458 (130)

458

11

902,2040,1140

65

большой ромбододекаэдр

10/3,4,10/3,4

60,120,42

60

5,2

120 (52)

15000

9

560,1170,612

66

малый курносый икосододекаэдр

3,3,3,3,3,5/2

60,180,92

60

5,3,1

1565 (257)

1565

7

240,450,212

67

курносый додекододекаэдр

3,3,5,3,5/2

60,150,84

60-

5,5,1

1488

1488

6

440,870,432

68

курносый икосододекододекаэдр

3,3,3,5/2,3,5

60,180,104

60-

5,5,3,1

2781

2781

7

432,870,452

69

большой вывернутый курносый икосододекаэдр

3,3,3,3,5/2

60,150,92

60-

5,3,1

1940

1940

7

452,750,300

70

вывернутый курносый додекододекаэдр

3,5,3,5/2,3

60,150,84

60-

5,5,1

1488

1488

7

632,1110,372

71

большой курносый додекоикосододекаэдр

3,5/2,3,5/2,3,3

60,180,92

60-

5,3,1

1803

1803

7

482,1080,600

72

большой курносый икосододекаэдр

3,3,3,3,5/2

60,150,92

60-

5,3,1

1940

1940

≤9

1112,1890,780

73

большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр

3,3,3,3,5/2

60,150,92

60-

5,3,1

1940

1940

16

2372,4170,1800

74

малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр

3,3,3,3,3,5/2

60,180,92

60

5,3,1

1565 (257)

1565

16*

3242,6330,3060

75

большой биромбоикосододекаэдр

3,4,5/2,4,3,4,5/2,4

60,240,62

60

5,3,1+

287 (85)

287

10

882,2160,1280

Призмы

76

призма-3

3,4,4

6,9,5

6

3,2

1

1

4

 

77

призма-5

5,4,4

10,15,7

10

5,2

2

2

6

 

78

призма-6

6,4,4

12,18,8

12

6,2

2

2

3

 

79

призма-7

7,4,4

14,21,9

14

7,2

3

3

4

 

80

призма-8

8,4,4

16,24,10

16

8,2

3

3

3

 

81

призма-9

9,4,4

18,27,11

18

9,2

4

4

4

 

82

призма-10

10,4,4

20,30,12

20

10,2

4

4

3

 

83

призма-11

11,4,4

22,33,13

22

11,2

5

5

4

 

Антипризмы

84

антипризма-4

4,3,3,3

8,16,10

8

4,1

9 (5)

43

3

 

85

антипризма-5

5,3,3,3

10,20,12

10

5,1

11 (7)

77

3

 

86

антипризма-6

6,3,3,3

12,24,14

12

6,1

20 (10)

1210

3

 

87

антипризма-7

7,3,3,3

14,28,16

14

7,1

22 (12)

1950

3

 

88

антипризма-8

8,3,3,3

16,32,18

16

8,1

34 (16)

15000

3

 

89

антипризма-9

9,3,3,3

18,36,20

18

9,1

36 (18)

15000

3

 

90

антипризма-10

10,3,3,3

20,40,22

20

10,1

51 (23)

15000

3

 

91

антипризма-11

11,3,3,3

22,44,24

22

11,1

53 (25)

15000

3

 

Звездчатые призмы

92

звездчатая призма 5/2

5/2,4,4

10,15,7

10

5,2

2

2

6

20,30,12

93

звездчатая призма 7/2

7/2,4,4

14,21,9

14

7,2

3

3

5

28,42,16

94

звездчатая призма 7/3

7/3,4,4

14,21,9

14

7,2

3

3

5

28,42,16

95

звездчатая призма 8/3

8/3,4,4

16,24,10

16

8,2

3

3

5

32,48,18

96

звездчатая призма 9/2

9/2,4,4

18,27,11

18

9,2

4

4

4

36,54,20

97

звездчатая призма 10/3

10/3,4,4

20,30,12

20

10,2

4

4

6

40,60,22

98

звездчатая призма 11/2

11/2,4,4

22,33,13

22

11,2

5

5

5

44,66,24

Звездчатые антипризмы

99

звездчатая антипризма 5/2

5/2,3,3,3

10,20,12

10

5,1

13 (9)

161

6

25,55,32

100

звездчатая антипризма 7/2

7/2,3,3,3

14,28,16

14

7,1

25 (15)

4471

8

35,77,44

101

звездчатая антипризма 7/3

7/3,3,3,3

14,28,16

14

7,1

22 (12)

1416

8

56,126,72

102

звездчатая антипризма 8/3

8/3,3,3,3

16,32,18

16

8,1

34 (16)

5704

9

64,144,82

103

звездчатая антипризма 9/2

9/2,3,3,3

18,36,20

18

9,1

40 (22)

9160

7

45,99,56

104

звездчатая антипризма 10/3

10/3,3,3,3

20,40,22

20

10,1

51 (23)

15000

6

80,180,102

105

звездчатая антипризма 11/2

11/2,3,3,3

22,44,24

22

11,1

58 (30)

15000

7

55,121,68

Примечания:
1. Строение вершины указывает, в каком порядке какие (звездчатые) многоугольники сходятся в вершинах многогранника.
2. В,Р,Г - количество вершин, ребер и граней. Внутренние точки пересечения сторон звездчатых многоугольников не считаются вершинами. Грани, расположенные в одной пл-ти, считаются за одну грань.
3. Группа симметрии - число собственных вращений группы симметрии тела. Большинство групп содержит также не собственные (зеркальные) преобразования, в противном случае добавлен знак "-" (признак курносости)
4. Типы граней - список мощностей групп собственных вращений каждого типа граней (+ для проходящих через центр).
5. Отсеков - количество различных типоотсеков, которые грани однородного многогранника ограничивают в пространстве. Зеркальные варианты типоотсеков считаются различными. Если исходное тело обладает зеркальной симметрией, то ЗС определяет количество зеркально-симметричных типоотсеков, остальные типоотсеки при этом всегда образуют энтаморфные пары.
6. Цветов - количество цветов, в которые раскрашена модель. Алгоритм раскраски стремится соблюсти принцип ракраски карт в минимальное число цветов, но при этом сохранить в раскраске симметрию многогранника. Символ * означает, что принцип раскраски карт нарушен.
7. Всех В,Р,Г - количество вершин, ребер и граней тела, включая внутренние точки самопересечения.

 

Контакт

Телефон:8 903 275 98 98

Адрес:sazonova51@yandex.ru